转一道题的解法 既学知识又拿分，竟然每人看！ (100分)

孙庞猜数的手算推理解法
孙膑，庞涓都是鬼谷子的徒弟；
一天鬼出了这道题目：他从2到99中选出两个不同的整数，把积告诉孙，把和告诉庞；
庞说：我虽然不能确定这两个数是什么，但是我肯定你也不知道这两个数是什么。
孙说：我本来的确不知道，但是听你这么一说，我现在能够确定这两个数字了。
庞说：既然你这么说，我现在也知道这两个数字是什么了。

1)按照庞的第一句话的后半部分，我们肯定庞知道的和S肯定不会大于54。

因为如果和54<S<54+99，那么S可以写为S=53+a，a<=99。如果鬼谷子选的两个数字
恰好是53和a，那么孙知道的积M就是M=53*a，于是孙知道，这原来两个数中至少有
一个含有53这个因子，因为53是个素数。可是小于100，又有53这个因子的，只能是
53本身，所以孙就可以只凭这个积53*a推断出这两个数术53和a。所以如果庞知道的
S大于54的话，他就不敢排除两个数是53和a这种可能，也就不敢贸然说“但是我肯定
你也不知道这两个数是什么”这种话。

如果53+99<S<=97+99，那么S可以写为S=97+a，同以上推理，也不可能。

如果S=98+99，那么庞可以立刻判断出，这两个数只能是98和99，而且M只能是98*99，
孙也可以知道这两个术，所以显然不可能。

2)按照庞的第一句话的后半部分，我们还可以肯定庞知道的和S不可以表示为两个素数
的和。

否则的话，如果鬼谷子选的两个数字恰好就是这两个素数，那么孙知道积M后，就可以
得到唯一的素因子分解，判断出结果。于是庞还是不敢说“但是我肯定你也不知道这两
个数是什么”这种话。

根据哥德巴赫猜想，任何大于4的偶数都可以表示为两个素数之和，对54以下的偶数，
猜想肯定被验证过，所以S一定不能是偶数。

另外型为S=2+p的奇数，其中p是奇素数的那些S也同样要排除掉。

还有S=51也要排除掉，因为51=17+2*17。如果鬼谷子选的是(17,2*17)，那么孙知道
的将是M=2*17*17，他对鬼谷子原来的两数的猜想只能是(17,2*17)。（为什么51要单
独拿出来，要看下面的推理）

3)于是我们得到S必须在以下数中：
11 17 23 27 29 35 37 41 47 53

另外一方面，只要庞的S在上面这些数中，他就可以说“但是我肯定你也不知道这两个
数是什么”，因为这些数无论怎么拆成两数和，都至少有一个数是合数（必是一偶一
奇，如果偶的那个大于2，它就是合数，如果偶的那个等于2，我们上面的步骤已经保
证奇的那个是合数），也就是S只能拆成
　a) S=2+a*b　或　b) S=a+2^n*b
这两个样子，其中a和b都是奇数，n>=1。
那么（下面我说的“至少两组数”中的两组数都不相同，而且的确存在（也就是那些
数都小于100）的理由我就不写了，根据条件很显然）
　a)或者孙的M=2*a*b，孙就会在(2*a,b)和(2,a*b)至少两组数里拿不定主意（a和
　　b都是奇数，所以这两组数一定不同）；
　b)或者M=2^n*a*b，
　　如果n>1，那么孙就会在(2^(n-1)*a,2*b)和(2^n*a,b)至少两组数里拿不定主意；
　　如果n=1，而且a不等于b，那么孙就会在(2*a,b)和(2b,a)至少两组数里拿不定主
　　意；
　　如果n=1，而且a等于b，这意味着S=a+2*a=3a，所以S一定是3的倍数，我们只要
　　讨论S=27就可以了。27如果被拆成了S=9+18，那么孙拿到的M=9*18，他就会在
　　(9，18)和(27,6)至少两组数里拿不定主意。
　（上面对51的讨论就是从这最后一种情况的讨论发现的，我不知道上面的论证是否
　过分烦琐了，但是看看51这个“特例”，我怀疑严格的论证可能就得这么烦）



现在我们知道，当且仅当庞得到的和数S在
C={11, 17, 23, 27, 29, 35, 37, 41, 47, 53}
中，他才会说出“我虽然不能确定这两个数是什么，但是我肯定你也不知道这两个数
是什么”这句话

孙膑可以和我们得到同样的结论，他还比我们多知道那个M。

4)孙的话“我现在能够确定这两个数字了”表明，他把M分解成素因子后，然后组合成
关于鬼谷子的那两个数的若干个猜想中，有且仅有一个猜想的和在C中。否则的话，他
还是会在多个猜想之间拿不定主意。

庞涓听了孙的话也可以得到和我们一样的结论，他还比我们多知道那个S。

5)庞的话“我现在也知道这两个数字是什么了”表明，他把S拆成两数和后，也得到了
关于鬼谷子的那两个数的若干个猜想，但是在所有这些拆法中，只有一种满足4)里的
条件，否则他不会知道究竟是哪种情况，使得孙膑推断出那两个数来。

于是我们可以排除掉C中那些可以用两种方法表示为S=2^n+p的S，其中n>1，p为素数。
因为如果S=2^n1+p1=2^n2+p2，无论是(2^n1,p1)还是(2^n2,p2)这两种情况，孙膑都
可以由M=2^n1*p1或M=2^n2*p2来断定出正确的结果，因为由M得到的各种两数组合，
只有(2^n,p)这样的组合，两数和才是奇数，从而在C中，于是孙膑就可以宣布自己知道
了是怎么回事，可庞涓却还得为(2^n1,p1)还是(2^n2,p2)这两种情况犯愁。

因为11=4+7=8+3，23=4+19=16+7，27=4+23=16+11，35=4+31=16+19，37=8+29=32+5，
47=4+43=16+31。于是S的可能值只能在
17 29 41 53
中。让我们继续缩小这个表。

29不可能，因为29=2+27=4+25。无论是(2,27)和(4,25)，孙膑都可以正确判断出来：
　a)如果是(2,27)，M=2*27=2*3*3*3，那么孙可以猜的组合是(2,27)(3,18)(6,9)，
　　后面两种对应的S为21和15，都不在C中，故不可能，于是只能是(2,27)。
　b)如果是(4,25)，M=4*25=2*2*5*5，那么孙可以猜的组合是(2,50)(4,25)(5,20)
　　(10,10)。只有(4,25)的S才在C中。
可是庞涓却要为孙膑的M到底是2*27还是4*25苦恼。

41不可能，因为41=4+37=10+31。后面推理略。

53不可能，因为53=6+47=16+37。后面推理略。

研究一下17。这下我们得考虑所有17的两数和拆法：
(2,15)：那么M=2*15=2*3*5=6*5，而6+5=11也在C中，所以一定不是这个M，否则4)
的条件不能满足，孙“我现在能够确定这两个数字了”的话说不出来。
(3,14)：那么M=3*14=2*3*7=2*21，而2+21=23也在C中。后面推理略。
(4,13)：那么M=4*13=2*2*13。那么孙可以猜的组合是(2,26)(4,13)，只有(4,13)
的和在C中，所以这种情况孙膑可以说4)中的话。
(5,12)：那么M=5*12=2*2*3*5=3*20，而3+20=23也在C中。后面推理略。
(6,11)：那么M=6*11=2*3*11=2*33，而2+33=35也在C中。后面推理略。
(7,10)：那么M=7*10=2*5*7=2*35，而2+35=37也在C中。后面推理略。
(8,9)：那么M=8*9=2*2*2*3*3=3*24，而3+24=27也在C中。后面推理略。

于是在S=17时，只有(4,13)这种情况，孙膑才可以猜出那两数是什么，既然如此，庞
涓就知道这两个数是什么，说出“我现在也知道这两个数字是什么了”。

听了庞涓的话，于是我们也知道，这两数该是(4,13)。

神奇

看不懂，刚开始时为什么S不能大于54我就不明白了，54以上的可以表示成53+a，没有什么意义嘛，难道53是一个很特别的数？“因为如果和54<S<54+99，那么S可以写为S=53+a，a<=99。如果鬼谷子选的两个数字
恰好是53和a，那么孙知道的积M就是M=53*a，于是孙知道，这原来两个数中至少有
一个含有53这个因子，因为53是个素数。”很是疑惑，比如说S=47+10=53+4的，孙知道的结果是470，不过他也不知道是47和10还是94和5啊

这样理解
庞肯定孙不知道这两个数是什么。
S=47+10=53+4的，如果孙知道的结果是470，孙是不知道是47和10还是94和5，
但是，庞不敢肯定孙不知道，因为庞并不知积是多少，如果积是53*4=212呢？

看明白了。
第一步應該先排除兩個素數的情況
然後，排除53以上的數是這樣考慮的。53為＞50（100/2）的最小的素數，
S＝53　＋　ａ（a一定得為合數），這樣無論如何分解，肯定有53這個因子
因為　M＝53＊a＝52＊a1*a2...，設a1=2，不可能有（53＊2）＊（a2*a3...)
因為53＊2＝106＞100，a1也更不可能大於2了。所以可排除53以上的s

没错
甲说：“我不知道X和Y是多少，但你也不知道”
这句话表示，不是两个质数，因为如果是2个质数，那么乙肯定知道。
但甲只知道两数的和，怎么知道不是两个质数呢？肯定是和的所有分解都不会是两个质数相加。
由此可得到和的集合。
乙说：“我知道X和Y分别是多少了！”
甲说：“我也知道了”
表示所有相加组合中，两数的积的所有分解，的和，只有1个是在和的集合中。
下面是算法：(一个上午啊…………)
unit Unit1;
interface
uses
Windows, Messages, SysUtils, Variants, Classes, Graphics, Controls, Forms,
Dialogs, StdCtrls;
type
TForm1 = class(TForm)
Memo1: TMemo;
Button1: TButton;
Button2: TButton;
procedure Button1Click(Sender: TObject);
procedure Button2Click(Sender: TObject);
private
{ Private declarations }
function IsZhi(a: integer): BOOLEAN;
function Check2(a: integer): BOOLEAN;
public
{ Public declarations }
end;

var
Form1: TForm1;
implementation
{$R *.dfm}
procedure TForm1.Button1Click(Sender: TObject);
var
i, j: integer;
k:boolean;
begin
memo1.Lines.Clear;
for i := 6 to 60do
begin
for j := 2 to i div 2do
begin
if not IsZhi(j) then
begin
k := true;
continue;
end
else
if IsZhi(i - j) then
begin
k := false;
break;
end;
end;
if k then
memo1.Lines.Add(inttostr(i));
end;
Button2Click(nil);

end;

function TForm1.IsZhi(a: integer): BOOLEAN;
var
i: integer;
begin
result := true;
for i := 2 to a - 1do
if (a mod i) = 0 then
begin
result := false;
Exit;
end;
end;

procedure TForm1.Button2Click(Sender: TObject);
var
i, j, n, m, x, y: Integer;
begin
for i := 0 to memo1.Lines.Count - 1do
begin
n := StrToInt(memo1.Lines.Strings);
m := 0;
for j := 2 to n div 2do
begin
if Check2(j * (n - j)) then
begin
m := m + 1;
x := j;
y := n - j;
end;
end;
if m = 1 then
begin
showmessage(inttostr(x)+' -- '+inttostr);
Exit;
end;
end;
end;

function TForm1.Check2(a: integer): BOOLEAN;
var
i, n, m: Integer;
begin
result := false;
n := 0;
m := 0;
for i := 2 to a div 2 - 1do
begin
if a mod i <> 0 then
Continue
else
if (memo1.Lines.IndexOf(IntToStr(i + (a div i))) <> -1) and (i <> m) then
begin
m := a div i;
n := n + 1;
end;
end;
if n = 1 then
result := true;

end;

end.

多人接受答案了。

基本上明白，佩服孙哥，庞哥如此电算。
继续佩服中。我的脑袋为什么就没那么快呢。

不是很明白