素数计算，判断大数是否是素数。如10000！+（随机数）(200分)

判断大数是否是素数。如10000！+（随机数）是否是素数

http://www.delphiforfun.org/Programs/big_factorials.htm

我知道怎样算10000!
怎样判断大数是否是素数？如10000！+（随机数）是否是素数？
继续，作为一个课题，大家动动脑筋吧！看能不能找到快的办法，如果不能，请给出不能的严格证明。

VAR
tmp,num:longint;
{Long Integer signed 32-bit (31-bit on each side)}
j,k:byte;
{ Slow? Fast? way to find primes, dividing by odd numbers }
Function IsPrime(num:longint):boolean;
Var
tmp:boolean;
j:longint;
begin
tmp:=true;
if num mod 2=0 then
tmp:=false;
for j:=3 to round(sqrt(num))do
if odd(j) then
if num mod j=0 then
tmp:=false;
if num=2 then
tmp:=true;
IsPrime:=tmp;
end;

begin
tmp:=2;
{2^1}
writeln('Perfect numbers...');
for j:=2 to 31do
begin
tmp:=tmp*2;
{Raise 2 to another power}
if IsPrime(j) then
begin
num:=tmp-1;
if IsPrime(num) then
begin
num:=num*(tmp div 2);
writeln(num:1,' is perfect');
{Ignore negatives}
end;
end;
end;
end.

楼上的兄台，用您的这种算法即使宇宙的生命结束了也不会得出结果的...
现在的随机素数发生器都是用费马测试来检测整数是否为的素数的。
to ybangl:
10000!——需要那么大吗？我记得现在比较强的大整数分解算法也只能对付数百位的整数，
而10000!有35660位——似乎难以搞定吧...

刚找到一个数论算法包，其中的素性测试代码如下：
/*********************************************
Miller_Rabin随机素数测试算法
说明：这种算法可以快速地测试一个数是否
满足素数的必要条件，但不是充分条件。不
过也可以用它来测试素数，出错概率很小，
对于任意奇数n>2和正整数s,该算法出错概率
至多为2^(-s)，因此，增大s可以减小出错概
率，一般取s=50就足够了。
*********************************************/
int Witness(int a,int n)
{
int i,d=1,x;
for (i=ceil(log((float)n-1)/log(2.0))-1;i>=0;i--)
{ x=d;
d=(d*d)%n;
if ((d==1)&&(x!=1)&&(x!=n-1)) return 1;
if (((n-1)&amp;(1<<i))>0) d=(d*a)%n;
}
return (d==1?0:1);
}
int Miller_Rabin(int n,int s)
{
int j,a;
for (j=0;j<s;j++)
{ a=rand()*(n-2)/RAND_MAX+1;
if (Witness(a,n)) return 0;
}
return 1;
}
（ http://algorithm.myrice.com/resources/code_center/algorithm/number_theory/number_theory_c.htm ）

找到一篇文章：
http://student.zjzkb.edu.cn/course_ware/data_structure/web/jingcaiwenzhang/wenzhang14.htm

如何产生素数
Solovag-Strasson
Robert Solovag和Volker Strasson开发了一种概率的基本测试算法。这个算法使用了雅可
比函数来测试p是否为素数：
（1） 选择一个小于p的随机数a。
（2） 如果GCD（a,p）<>1，那么p通不过测试，它是合数。
（3） 计算j=a^(p-1)/2 mod p。
（4） 计算雅可比符号J（a,p）。
（5） 如果j<>J（a,p），那么p肯定不是素数。
（6） 如果j=J(a,p),那麽p不是素数的可能性值多是50%
数a被称为一个证据，如果a不能确定p，p肯定不是素数。如果p是合数。随机数a是证据的
概率不小于50%。对a选择t个不同的随机值，重复t次这种测试。p通过所有t次测试后，它是
合数的可能性不超过1/2^t。
Lehmann
另一种更简单的测试是由Lehmann独自研究的。下面是它的测试算法：
（1） 选择一个小于p的随机数a。
（2） 计算a^(p-1)/2 mod p
（3） 如果a^(p-1)/2<>1或-1（mod p），那么p肯定不是素数。
（4） 如果a^(p-1)/2=1或-1（mod p），那麽p不是素数的可能性值多是50%
同样，重复t次，那麽p可能是素数所冒的错误风险不超过1/2^t。
Rabin-Miller
这是个很容易且广泛使用的简单算法，它基于Gary Miller的部分象法，有Michael Rabin
发展。事实上，这是在NIST的DSS建议中推荐的算法的一个简化版。
首先选择一个代测的随机数p，计算b，b是2整除p-1的次数。然后计算m，使得n=1+(2^b)m。
（1） 选择一个小于p的随机数a。
（2） 设j=0且z=a^m mod p
（3） 如果z=1或z=p-1，那麽p通过测试，可能使素数
（4） 如果j>0且z=1, 那麽p不是素数
（5） 设j=j+1。如果j<b且z<>p-1,设z=z^2 mod p，然后回到(4)。如果z=p-1，那麽p通过
测试，可能为素数。
（6） 如果j=b 且z<>p-1，不是素数
这个测试较前一个速度快。数a被当成证据的概率为75%。这意味着当迭代次数为t时，它
产生一个假的素数所花费的时间不超过1/4^t。实际上，对大多数随机数，几乎99.99%肯定
a是证据。
实际考虑：
在实际算法，产生素数是很快的。
（1） 产生一个n-位的随机数p
（2） 设高位和低位为1（设高位是为了保证位数，设低位是为了保证位奇数）
（3） 检查以确保p不能被任何小素数整除：如3，5，7，11等等。有效的方法是测试小于
2000的素数。使用字轮方法更快
（4） 对某随机数a运行Rabin-Miller检测，如果p通过，则另外产生一个随机数a,在测试。
选取较小的a值，以保证速度。做5次 Rabin-Miller测试如果p在其中失败，从新产生p，再
测试。

在Sparc II上实现： 2 .8秒产生一个256位的素数
24.0秒产生一个512位的素数
2分钟产生一个768位的素数
5.1分钟产生一个1024位的素数 //********

请注意：“5.1分钟产生一个1024位的素数”——那么，需要几年才能产生一个3万多位的
素数呢？

素数的比例越是随着数字的增加而减少的，要想找到素数是越来越难。
要求精确的确定大素数：
1.首先要写大整数的乘法和除法
2.要建立巨大的素数表以供求更大的素数调用。
以上两个条件就使得您的存储空间---内存加硬盘不够使用。
然后是时间的考虑。数量巨大的乘除法运算将使得时间上无法实现。[]
另外，问题在于：确定如此巨大的素数有什么实际的意义？

继续，作为一个课题，大家动动脑筋吧！

继续，作为一个课题，大家动动脑筋吧！看能不能找到快的办法，如果不能，请给出不能的严格证明。

找大于10000!的大素数倒不难，难就难在如何判断一个大数是否素数……复杂度太高了

怎样证明你找的数是素数呢？

还记得欧氏证明不存在最大素数的推理吗？就是它

证明不存在最大素数的方法：
假设N是最大的素数，那么 M = 2*3*4...*N+1 不能被1~N之间的所有素数整除，
因此M要么是素数，要么能被一个大与N的素数整除。矛盾！故N不存在。即不存在最大素数。
我现在只知道判断素数只能用定义（筛法）来做，不晓得能不能找到更好的办法。
估计是没有。因此最好的算法也就只能用动态规划法（我上面讲的）。
要是能找到更好的方法，请帖出来，谢谢！[]

所以我说，找一个更大的素数不难，但是证明一个数是不是素数就比较难了。
比如我用筛法将从1~80000的素数筛选出来不难吧？那么我只要把它们全都乘在一起再+1，这个数就一定是素数了。
另，你引用的那段证明有一个错误，就是几个被乘数必须全都是素数，而且不能遗漏(必须从2开始乘)，否则得出来的数比一定是素数，比如2*7+1=15就不是。

to Traveller
另，你引用的那段证明有一个错误，就是几个被乘数必须[red]全都是素数[/red]，而且不能遗漏(必须从2开始乘)，否则得出来的数比一定是素数，比如2*7+1=15就不是。
DarwinZhang的证明没有错，只要几个被乘数包含了所有小于等于N的素数就可以了。

非常精彩，我一定给你们多加点分

“只要几个被乘数包含了所有小于等于N的素数就可以了”
不对吧，欧氏不是这样证明的。如果那样岂不是说N!+1都是素数？！显然这是不成立的，比如2*3*4+1=25，显然不是素数。

如果你指望通过普通的方法检测（成千上万位的）大数的素性——在时间上是绝对不现实
的。因为一个数百位的大数开方之后仍然有相当多的小于它的质数（记得质数分布密度公式
吗？—— ln(x)/x。我的微积分已经忘完了，有兴趣的同志可以自己积分一下，看看3万位
的大数可能被多少个素数整除），正是因为时间不允许用普通的方法来证明一个大数肯定是
素数，先人们才会开发出费马测试等基于概率的素性检测方法——即便这样，生成上千位（
我怀疑这里的“位”是二进制的）已经非常之慢，楼主的要求已经大大超过了现代计算机的
计算能力。
另外，关于欧氏的“素数无限”的证明过程，我记得是这样的：
假设素数的个数是有限的——我们假设素数总共有n个，分别为K1,K2,K3,...,Kn。好的，
我们可以生成一个新的数： S=K1*K2*K3*...*Kn+1 ——显然，S不能被任何素数(Ki)整除—
—所以S必然是素数，但显然S不在{K1,K2,K3,...Kn}之中——与题设（只有K1,K2,...Kn是
素数）矛盾——假设不成立。因此，素数有无限多个。
——欧氏的S是基于所有素数的乘积的，当然不会被任何一个素数整除。楼上同志们想用
有限个素数按照他的方法生成新素数，显然是不可行的。

sorry，想了一下，我的推理看来有错误，欧氏是在假设存在最大素数的条件下进行的归谬，不能照搬来做素数的计算公式，收回我的话 :-(

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